Action de groupe - Translation

Définition

Définition d'une action de groupe :

soit $G$ un groupe et $X$ un ensemble
à tout élément $g\in G$, on associe la fonction $$\begin{align} G\times X&\longrightarrow X\\ (g,x)&\longmapsto g.x\end{align}$$
$1.x=x$ avec $1$ l'identité
$\forall g_1,g_2\in G,\forall x\in X$, $$g_1.(g_2.x)=(g_1.g_2).x$$ (associativité)

$$\Huge\iff$$

on dit que cette application est une action de groupe

Ensemble

Notation :
On note $T_G$ l'ensemble des actions de groupes de $G$
C'est un groupe

Transitivité

Définition :
On dit que l'action de groupe est transitive s'il n'y a qu'une seule orbite
(Orbite)

Propriétés

Propriétés de base de l'ensemble des actions de groupes

Propriétés de base de l'ensemble des actions de groupes :

soit $G$ un groupe

$$\Huge\iff$$

$T_G\ne\varnothing$
toute action de groupe est une bijection : $T_G\subseteq S_G$, et on a même $T_G\leqslant S_G$
$G\simeq T_G$

(Permutation)

Exemples

Conjugaison

Exemple :
Si $H\lt G$, alors $H$ peut agir sur $G$ par translation : $$\begin{cases} H\times G\to G\\ (h,g)\mapsto hg\end{cases}$$
Ou par conjugaison : $$\begin{cases} H\times G\to G\\ (h,g)\mapsto hgh^{-1}\end{cases}$$
Ces actions correspondent à des actions à gauche, mais il eiste les actions à droite correspondantes

Math'φsics